Ни один выпускник из Краснодара не справится с этим заданием из ЕГЭ по математике — думаете, у вас получится?

Каждый год мы слышим всё больше жалоб выпускников на то, что задания на ЕГЭ слишком сложные. Кто-то может сказать, что это школьники просто малообразованные и толком не готовятся, но вы попробуйте сами справиться с тем, что подсовывают им на экзаменах. Когда мы увидели уравнения, что дают школьникам на госэкзамене, наши гуманитарные мозги заскрипели так, что ученые хотели было объявить сейсмическую опасность. Но не спешите злорадствовать — лучше сами попробуйте найти правильное решение. У вас, кстати, в отличие от школьников, будет фора — в виде нескольких вариантов ответов. Возможно, вам повезет.

А задача заключается в том, что вам нужно найти все значения параметра а, при каждом из которых у следующего уравнения будет ровно два различных корня.

Ну что, готовы блеснуть математической смекалкой? Тогда попробуйте найти правильный ответ, а ниже мы предоставим вам решение.

А теперь приступим к решению.

Заметим, что х не равен нулю. Сделаем замену х - 9/х = t. Получаем следующее уравнение:

at² - 2t - 49a + 18 = 0.

Произведем анализ замены. Так как х не равен нулю, то можем домножить уравнение на х.

x² - 9 = tx

x² - tx - 9 = 0

D = t² + 36 > 0

Видим, что при любом t уравнение х - 9/х = t имеет два корня. Тогда, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, необходимо, чтобы новое уравнение относительно t имело ровно один корень.

При а = 0 уравнение не является квадратным и принимает вид:

-2t +18 = 0

t = 9

То есть а = 0 подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда а не равно нулю. Уравнение является квадратным, и, чтобы оно имело одно решение, необходимо условие D = 0:

at² - 2t - 49a + 18 = 0

D = 4 - 4a(18 - 49a) = 0

1 - a(18 - 49a) = 0

49a² - 18a + 1 = 0

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения при следующих значениях а: